18289. Точка I_{a}
— центр вневписанной окружности, треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, W
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника. Перпендикуляр, опущенный из точки W
на прямую AB
пересекает описанную окружность в точке P
. Докажите, что если точки B
, P
и I_{a}
лежат на одной прямой, то треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Поскольку точки B
, P
и I_{a}
лежат на одной прямой, причём P
и I_{a}
— по одну сторону от точки B
, то \angle CBP=\angle CBI_{a}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. С одной стороны,
\angle CBI_{a}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
С другой стороны, \angle AWP=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
, а так как четырёхугольник ABPW
вписанный, то
\angle ABP=180^{\circ}-\angle AWP=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle CBP=\angle ABP-\angle ABC=(180^{\circ}-\angle AWP)-\angle ABC=
=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}-\beta=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}-\beta.
Из равенства \angle CBP=\angle CBI_{a}
получаем
90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}-\beta,
откуда \alpha=\beta
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный (AC=BC
). Что требовалось доказать.
Автор: Мороз Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 4, 8-9-10-11 классы, с. 2