1829. Постройте окружность наибольшего радиуса, вписанную в данный сегмент данного круга. (Сегмент — это часть круга, отсекаемая от него хордой.)
Указание. Диаметр искомой окружности равен разности радиуса данного круга и расстояния от его центра до хорды данного сегмента.
Решение. Пусть AB
— хорда круга радиуса R
с центром O
, OC
— радиус круга, перпендикулярный этой хорде. Тогда точка M
пересечения отрезков AB
и OC
— середина AB
. Докажем, что окружность с диаметром MC
— искомая.
Пусть окружность радиуса x
с центром O_{2}
, отличным от центра O_{1}
окружности с диаметром MC=2r
, вписана в данный сегмент ACB
и касается хорды AB
в точке K
, а данной окружности — в точке D
. Тогда точки O
, O_{2}
и D
лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает хорду AB
в точке P
, а окружность с центром O_{2}
— в точке Q
. Тогда
R-2r=OM\lt OP=OD-DP\lt R-DQ=R-2x,
откуда x\lt r
.