18296. Известно, что в треугольнике ABC
расстояния от точки пересечения биссектрис до каждой из вершин треугольника не превосходят диаметра вписанной в треугольник окружности. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Предположим, что расстояния от центра I
вписанной окружности до каждой вершины треугольника строго меньше диаметра вписанной окружности треугольника ABC
, т. е.
IA\lt2r,~IB\lt2r,~IC\lt2r,
где r
— радиус вписанной окружности. Тогда описанная окружность \omega
радиуса R
треугольника ABC
лежит строго внутри окружности s
с центром в точке I
и радиусом 2r
, а это противоречит известному неравенству R\geqslant2r
.
Пусть IA=2r
, а IB\lt2r
и IC\lt2r
. В этом случае вершины B
и C
будут лежать внутри окружности s_{1}
с центром в точке I
и радиусом IA=2r
, а значит, радиус окружности s_{1}
будет больше R
, т. е. 2r\gt R
. Снова противоречие.
Остаётся единственная возможность — IA=IB=IC=2r
, а это верно только для случая, когда треугольник равносторонний. Таким образом, углы треугольника ABC
равны по 60^{\circ}
.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 1, 8-9 классы, с. 1