18297. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
с перпендикулярными диагоналями, пересекающимися в точке P
. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырёхугольника, проходит через середину отрезка, соединяющего точку P
с центром O
описанной окружности четырёхугольника ABCD
.
Решение. Пусть M
и N
— середины противоположных сторон AB
и CD
данного четырёхугольника. Заметим, что для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что четырёхугольник PMON
— параллелограмм.
Обозначим, \angle ACD=\alpha
. Тогда, поскольку PM
и PN
— медианы прямоугольных треугольников AMP
и DMP
, а AMP
и DNP
— внешние углы равнобедренных треугольников BMP
и CNP
соответственно, то
\angle AMP=\angle PND=2\alpha~\mbox{и}~\angle MPB=\angle NPC=\alpha.
Тогда, поскольку OM\perp AB
(см. задачу 1677), то
\angle PMO=90^{\circ}-\angle AMP=90^{\circ}-2\alpha,
а также
\angle MPN=\angle MPB+\angle BPC+\angle CPN=\alpha+90^{\circ}+\alpha=90^{\circ}+2\alpha.
Значит, \angle NPM+\angle PMO=180^{\circ}
, поэтому по признаку параллельности прямых PN\parallel OM
.
Кроме того,
\angle PNO=90^{\circ}-\angle DNP=90^{\circ}-2\alpha,
поэтому \angle PNO+\angle NPM=180^{\circ}
. Значит, PM\parallel ON
. Таким образом, четырёхугольник PMON
— параллелограмм. Его диагонали PO
и MN
делят друг друга пополам. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Дзюняк А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 2, 8-9 классы, с. 2