1830. Хорда AB
видна из центра круга радиуса R
под углом, равным 120^{\circ}
. Найдите радиусы наибольших окружностей, вписанных в сегменты, на которые хорда AB
разбивает данный круг.
Ответ. \frac{1}{4}R
и \frac{3}{4}R
.
Указание. Докажите, что окружность наибольшего радиуса, вписанная в данный сегмент с основанием AB
, касается хорды AB
в её середине.
Решение. Окружность наибольшего радиуса, вписанная в данный сегмент с основанием AB
, касается хорды AB
в её середине. Действительно, пусть AB
— хорда круга радиуса R
с центром O
, OC
— радиус круга, перпендикулярный этой хорде. Тогда точка M
пересечения отрезков AB
и OC
— середина AB
. Докажем, что окружность с диаметром MC
— искомая. Пусть окружность радиуса x
с центром O_{2}
, отличным от центра O_{1}
окружности с диаметром MC=2r
, вписана в данный сегмент ACB
и касается хорды AB
в точке K
, а данной окружности — в точке D
. Тогда точки O
, O_{2}
и D
лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает хорду AB
в точке P
, а окружность с центром O_{2}
— в точке Q
. Тогда
R-2r=OM\lt OP=OD-DP\lt R-DQ=R-2x,
откуда x\lt r
.
Если теперь r
— радиус наибольшей окружности вписанный в меньший из двух данных сегментов, то
r=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}(R-OM)=\frac{1}{2}\left(R-\frac{1}{2}OA\right)=\frac{1}{2}\left(R-\frac{1}{2}R\right)=\frac{1}{4}R.
Аналогично находим, что радиус наибольшей окружности, вписанной во второй сегмент, равен \frac{3}{4}R
.
