18300. В остроугольном треугольнике ABC
провели биссектрису угла при вершине A
до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке W
. Через точку W
параллельно стороне AB
провели прямую, пересекающую эту окружность в точке F
, отличной от W
. Опишите построение треугольника ABC
, если даны отрезки FA
и FW
, а также угол FAC
.
Решение. Анализ. Предположим, что треугольник ABC
построен. Проведём отрезки FA
, FC
и CW
. Отметим равные углы
\angle CAW=\angle WAB=\angle AWF=\angle CFW,
так как WF\parallel AB
, а вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Тогда CF\parallel AW
, а так как параллельные прямые AW
и FC
высекают на окружности равные дуги, то равны стягивающие их хорды, т. е. CW=FA
. Кроме того, \angle FAC=\angle FWC
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Тогда у треугольника CWF
известны две стороны WC
и WF
и угол между ними (\angle CWF=\angle CAE
). Значит, этот треугольник можно построить.
Построение. Строим треугольник CWF
по двум сторонам FW
и CW=FA
и углу между ними, т. е. \angle CWF=\angle FAC
. Затем описываем около него окружность. Вершину A
можно можно получить, проведя через точку W
прямую, параллельную CF
до пересечения с построенной окружностью, а точку B
— проведя через точку A
прямую, параллельную FW
до пересечения с построенной окружностью.
Автор: Мостовой А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 6, 8-9 классы, с. 4