18301. Окружность x^{2}+y^{2}=25
пересекает ось абсцисс в точках A
и B
. Точка P
лежит в первой координатной четверти на прямой x=11
, C
— точка пересечения этой прямой с осью Ox
, а точка Q
— точка пересечения отрезка AP
с данной окружностью. Оказалось, что площадь треугольника AQB
в четыре раза меньше площади треугольника APC
. Найдите координаты точки Q
.
Ответ. \left(\frac{7}{25};\frac{24}{5}\right)
.
Решение. Пусть точка A
лежит на отрицательной полуоси. Поскольку AB=10
и BC=6
, то отношение площадей треугольников ABP
и BPC
равно 10:6=5:3
. Обозначим S_{\triangle ABP}=5S
, тогда
S_{\triangle BPC}=3S,~S_{\triangle ACP}=8S,~S_{\triangle OAB}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABP}=2S,~S_{\triangle PQB}=5S-2S=3S.
Таким образом, отношение площадей треугольников AQB
и PQB
с общей высотой, проведённой из вершины B
, равно 2:3
. Значит, точка Q
делит отрезок AP
тоже в отношении AQ:QP=2:3
.
Пусть T(x;0)
— проекция точки Q
на ось Ox
. Тогда
AT:TC=2:3~\Rightarrow~\frac{5+x}{11-x}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~x=\frac{7}{5},
а так как точка Q
лежит на окружности x^{2}+y^{2}=25
, то
y=\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{25-\left(\frac{7}{5}\right)^{2}}=\frac{24}{5}.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 1, 10-11 классы, с. 6