18304. На диагонали BD
квадрата ABCD
построен равносторонний треугольник BDE
, причём точка C
расположена внутри треугольника BDE
. Пусть M
— середина BE
. Найдите угол между прямыми MC
и DE
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Поскольку DM
— медиана равностороннего треугольника BDE
, то она является его высотой и биссектрисой, а так как \angle BMD=\angle BCD=90^{\circ}
, то точки B
, M
, C
, D
лежат на одной окружности. Тогда
\angle CMD=\angle CBD=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle EMC=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Пусть F
— точка пересечения MC
и ED
. Из треугольника MEF
находим
\angle MFE=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 2, 8-9 классы, с. 1