18309. Дан остроугольный треугольник ABC
. Вписанная в него окружность с центром в точке I
касается сторон AB
и BC
в точках C_{1}
и A_{1}
соответственно. Прямые A_{1}C_{1}
и AC
пересекаются в точке Q
. Докажите, что описанные окружности треугольников AIC
и A_{1}CQ
касаются.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников AIC
и A_{1}CQ
соответственно. Докажем, что точки O_{1}
, C
и O_{2}
на одной прямой. Поскольку C
— общая точка этих окружностей, отсюда будет следовать утверждение задачи.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда (см, задачу 4770) \angle AIC=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
. В то же время, AO_{1}C
— центральный угол окружности с центром O_{1}
, содержащий точку I
, поэтому
\angle AO_{1}C=360^{\circ}-2\angle AIC=360^{\circ}-2\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)=180^{\circ}-\beta.
Из равнобедренного треугольника C_{1}BA_{1}
(BA_{1}=BC_{1}
) находим
\angle BA_{1}C_{1}=\angle BC_{1}A_{1}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}~\Rightarrow~\angle CAQ=\angle BA_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle CO_{2}Q=2\angle CAQ=180^{\circ}-\beta~\Rightarrow~\angle QCO_{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CO_{2}Q=
=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=\frac{\beta}{2}=\angle ACO_{1},
при этом, точки O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от прямой AQ
, поэтому точка C
лежит между точками A
и Q
, причём \angle ACO_{1}=\angle QCO_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 1, 10-11 классы, с. 5