1831. Точки K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL
, BM
, CN
и DK
— параллелограмм.
Указание. Рассмотрите четырёхугольник ANCL
.
Решение. Из определения параллелограмма следует, что BC\parallel AD
, поэтому LC\parallel AN
. Кроме того,
LC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AN.
Значит, противоположные стороны LC
и AN
четырёхугольника ANCL
равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм. Поэтому AL\parallel CN
. Аналогично BM\parallel DK
. Мы доказали, что противоположные стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения прямых AL
, BM
, CN
и DK
попарно параллельны. Следовательно, это параллелограмм.