18310. На средней линии MN
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) отмечены точки F
и G
, причём \angle ABF=\angle CBG
. Докажите, что \angle BAF=\angle DAG
.
Решение. Опишем окружность \omega
около треугольника AFM
. Пусть T
— отличная от F
точка пересечения этой окружности с прямой MN
. Тогда \angle FTA=\angle FBA
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Аналогично \angle BTF=\angle BAF
.
Кроме того, \angle BGT=\angle GBC
как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC
и MN
и секущей BG
. Поскольку \angle BGT=\angle GTA
, то BG\parallel TA
. Вместе с тем, BG=TA
, поскольку прямоугольные треугольники BKG
и AQT
(где BK
и AQ
— перпендикуляры, опущенные из точек B
и A
на прямую MN
) равны по гипотенузе BM=AM
и острому углу.
Таким образом ATBG
— параллелограмм, поэтому \angle BTG=\angle TGA
, а так как \angle TGA=\angle GAD
, то \angle BAF=\angle GAD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 2, 10-11 классы, с. 5