18313. Внутри остроугольного треугольника ABC
с углом 30^{\circ}
при вершине A
отмечена произвольная точка K
, а F
и N
— точки пересечения медиан треугольников AKC
и AKB
соответственно. Известно, что FN=q
. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. 3q
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а R
— её радиус. Тогда \angle BOC=2\angle BAC=60^{\circ}
, так как центральный угол BOC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
. Значит, равнобедренный треугольник BOC
— равносторонний, поэтому BC=OC=OB=R
.
Пусть лучи AF
и AN
пересекают CK
и BK
в точках T
и Q
соответственно. Далее, учитывая, что TQ
— средняя линия треугольника BKC
, а треугольники AFN
и ATQ
подобны с коэффициентом \frac{2}{3}
, находим, что
\frac{AF}{FT}=\frac{AN}{NQ}=2~\Rightarrow~FN=\frac{2}{3}TQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}R.
Следовательно, R=3FN=3q
.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 1, 8-9 классы, с. 1