18314. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Провели серединные перпендикуляры к сторонам AD
и CD
, пересекающиеся в точке Q
и пересекающие стороны BC
и AB
в точках P
и K
соответственно. Оказалось, что точки K
, B
, P
и Q
лежат на одной окружности. Докажите, что точки A
, Q
и C
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку Q
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам вписанного четырёхугольника, то Q
— центр его описанной окружности.
Пусть R
и S
— середины сторон AD
и CD
соответственно, а \angle ABC=\alpha
. Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, то
\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}~\Rightarrow~\angle ADC=180^{\circ}-\alpha,
а так как QR\perp AD
и QS\perp CD
, то
\angle RQS+\angle ADC=180^{\circ}~\Rightarrow~\angle RQS=\alpha~\Rightarrow~\angle RQS=\angle KQP=\angle KBP=\alpha.
По условию четырёхугольник BKQP
вписанный, поэтому
\angle KQP+\angle KBP=180^{\circ},~\mbox{или}~2\alpha=180^{\circ},
откуда
\angle ABC=\alpha=90^{\circ}.
Следовательно, AC
— диаметр описанной окружности четырёхугольника ABCD
, а так как Q
— центр этой окружности, то точки A
, Q
и C
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Автор: Артемчук Е.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 2, 8-9 классы, с. 1