18316. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором \angle BAC=60^{\circ}
. На сторонах AC
и AB
отмечены точки T
и Q
соответственно, причём CT=TQ=QB
. Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника ATQ
лежит на стороне BC
.
Решение. Рассмотрим треугольник ATQ
. Пусть биссектрисы внешних углов ATQ
и AQT
пересекаются в точке P
, а углы ATQ
и AQT
равны \alpha
и \beta
соответственно. Нужно доказать, что точки C
, P
и B
лежат на одной прямой.
Очевидно,
\alpha+\beta=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
а так как
\angle CTP=\angle PTQ=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
и аналогично,
\angle TQP=\angle PQB=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
то
\angle TPQ=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\alpha+\beta}{2}=60^{\circ}.
Треугольники TPC
и TPQ
с общей стороной TP
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle TPC=\angle TPQ=60^{\circ}
. Аналогично, \angle QPB=\angle QPT=60^{\circ}
. Значит,
\angle CPB=3\cdot60^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, точка P
лежит на стороне BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 4, 8-9 классы, с. 3