18317. Около равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
описана окружность. Биссектриса угла при вершине C
и биссектриса угла при вершине A
пересекают эту окружность в точках E
и D
соответственно, а отрезок DE
пересекает стороны BC
и AB
в точках P
и Q
соответственно. Восстановите треугольник ABC
по точкам D
, P
и Q
, если известно, в какой полуплоскости относительно прямой DQ
лежит вершина A
.
Решение. Анализ. Предположим, искомый треугольник ABC
построен. Проведём BD
. Из точки B
отрезок BD
виден под прямым углом, поэтому B
лежит на окружности с диаметром DQ
. Кроме того,
\angle BHD=\angle AHC=90^{\circ},
так как биссектриса AH
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой, \angle ACE=\angle ADE
и \angle BCE=\angle BDE
по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, а \angle ACE=\angle BCE
по условию.
Пусть \angle ACB=2\alpha
. Тогда
\angle ACE=\angle BCE=\angle ADE=\angle BDE=\alpha.
Из прямоугольных треугольников DBQ
и DHP
получаем
\angle BQD=90^{\circ}-\alpha,~\angle DPH=90^{\circ}-\alpha,
поэтому
\angle BPQ=\angle HPD=90^{\circ}-\alpha=\angle BQD.
Значит, треугольник PBQ
равнобедренный, BP=BQ
.
Построение.
1) Точку B
получаем как пересечение серединного перпендикуляра к отрезку PQ
с окружностью, построенной на отрезке DQ
как на диаметре.
2) Пересечение прямой BQ
с прямой, проведённой через точку D
перпендикулярно BP
, даёт вершину A
.
3) Точка, симметричная B
относительно прямой AD
есть искомая точка C
.
Автор: Рожкова М. Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 5, 8-9 классы, с. 4