18322. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
. Окружность с центром H
и радиусом AH
пересекает прямые AB
и AC
в точках E
и D
соответственно. Точка X
симметрична вершине A
относительно прямой BC
. Докажите, что XH
— биссектриса угла DXE
.
Решение. Докажем, что точки X
, D
, H
, E
лежат на одной окружности. Проведём высоты CM
и BK
. Треугольник ADH
равнобедренный (HD=HA
как радиусы одной окружности). Тогда его высота HK
является медианой, т. е. K
— середина AD
. Значит, высота BK
треугольника ABD
является медианой, поэтому треугольник ADB
тоже равнобедренный, AB=BD
. Тогда
\angle BAC=\angle BAD=\angle ADB.
Аналогично получаем, что \angle BAC=\angle AEC
, поэтому \angle ADB=\angle AEC
. Значит,
\angle BEC=\angle AEC=\angle ADB=180^{\circ}-\angle CDE.
Следовательно, четырёхугольник CDBE
вписанный.
Кроме того,
\angle CDB=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-\angle BAC=\angle KHM=\angle CHB,
а так как четырёхугольник CDBE
вписанный, то
\angle CXB=\angle BAC=\angle ADB.
Значит, точки H
и X
лежат на описанной окружности четырёхугольника CDBE
.
В то же время, точки X
, D
, H
и E
лежат на одной окружности. Тогда из равенства HD=HE
(радиусы одной окружности) следует равенство углов \angle DXH=\angle EXH
, т. е. XH
— биссектриса угла DXE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 4, 10-11 классы, с. 8