18323. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
. На продолжении отрезка MB
за точку B
отложен отрезок BK=\frac{1}{2}AC
. Докажите, что если \angle AMB=60^{\circ}
, то AK=BC
.
Решение. На луче MB
отложим отрезок MD=AM=BK
(рис. 1). Тогда равнобедренный треугольник AMD
— равносторонний. Поскольку
KD=MK-MD=MK-BK=MB,~AD=CM~\mbox{и}~\angle ADK=\angle CMB=120^{\circ},
то треугольники ADK
и CMB
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AK=BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Штанденко М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2022, VI, задача 1, 8-9 классы, с. 1