18324. На стороне AD
квадрата ABCD
отмечена точка X
. В треугольник ABX
вписана окружность, касающаяся AX
, BX
и AB
в точках N
, K
и F
соответственно. Докажите, что луч NK
проходит через центр O
квадрата ABCD
.
Решение. Пусть луч NK
пересекает сторону BC
в точке T
. Поскольку XN=XK
, то \angle XNK=\angle XKN
, а так как \angle XKN=\angle BKT
(как вертикальные углы), \angle XNK=\angle BTK
(как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC
и AD
и секущей NT
), а \angle XNK=\angle KTB
, то \angle BKT=\angle KTB
и BT=BK
.
Далее из равенств BK=BF
, BK=BT
и AF=AN
получаем, что AN=CT
, а так как AN\parallel CT
, то ATCN
— параллелограмм. Середина O
его диагонали AC
(т. е. центр квадрата ABCD
) — также середина диагонали NT
. Значит, O
лежит прямой NK
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Шевцов А. А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2022, VI, задача 2, 8-9 классы, с. 1