18329. В остроугольном треугольнике ABC
проведены медианы BE
и CF
. На прямой BC
отмечены точка K
, отличная от B
, и точка L
, отличная от C
, причём BE=EK
и CF=FL
. Докажите, что AK=AL
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть AA_{1}
, EE_{1}
и FF_{1}
— высоты треугольников ABC
, BEK
и CFL
соответственно. Поскольку EE_{1}\parallel AA_{1}\parallel FF_{1}
, то EE_{1}
и FF_{1}
— средние линии прямоугольных треугольников AA_{1}C
и AA_{1}B
.
Обозначим BF_{1}=F_{1}A_{1}=x
и A_{1}E_{1}=E_{1}B=y
. Треугольники BEK
и CFL
равнобедренные, поэтому E_{1}
и F_{1}
— середины отрезков BK
и CL
соответственно. Значит,
KE_{1}=BE_{1}=2x+y,~LF_{1}=F_{1}C=x+2y,
поэтому
LA_{1}=LB+BA_{1}=LF_{1}+F_{1}A=(x+2y)+x=2x+2y,
KA_{1}=KE_{1}+E_{1}A=(2x+y)+y=2x+2y.
Значит, LA_{1}=KA_{1}
, поэтому AA_{1}
— медиана и высота треугольника KAL
. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AK=AL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Жилинский Г.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 1, 8-9 классы, с. 1