18330. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, в котором \angle A\lt\angle B\lt\angle C
. Точки P
и Q
таковы, что AIOP
и BIOQ
— равнобедренные трапеции (AI\parallel OP
и BI\parallel OQ
). Докажите, что CP=CQ
.
Решение. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому IP=AO=BO=IQ
. Достаточно доказать, что \angle CIP=\angle CIQ
. Отсюда будет следовать, что треугольники CIP
и CIQ
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда CP=CQ
.
Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
и \angle C=\gamma
(\alpha\lt\beta\lt\gamma
). Тогда в равнобедренном треугольнике AOC
угол при вершине O
будет равен 2\beta
, а так как
\gamma\gt\beta~\Rightarrow~\beta+\gamma\gt2\beta~\Rightarrow~\frac{1}{2}(\beta+\gamma)\gt\beta,
то
\angle CAO=90^{\circ}-\beta\gt90^{\circ}-\frac{1}{2}(\beta+\gamma)=\frac{\alpha}{2}=\angle CAI.
Значит, точка O
лежит между сторонами угла AIB
. Аналогично,
\angle CBO=90^{\circ}-\alpha\gt\frac{\beta}{2},
поэтому точка O
лежит внутри угла AIB
, а точки P
и Q
внутри углов AIO
и BIO
соответственно. Тогда
\angle CIP=\angle CIA+\angle AIP~\mbox{и}~\angle CIQ=\angle CIB+\angle BIQ.
Поскольку \angle CIA=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
(см. задачу 4770), а из равнобедренной трапеции AIOP
следует, что
\angle AIP=\angle OAI=\angle CAO-\angle CAI=(90^{\circ}-\beta)-\frac{\alpha}{2},
то
\angle CIP=\angle CIA+\angle AIP=\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\beta-\frac{\alpha}{2}\right)=
180^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}+\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.
Аналогично получим, что \angle CIQ=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
. Таким образом, треугольники CIP
и CIQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CP=CQ
. Что и требовалось доказать.
Автор: Райман В.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 3, 8 класс, с. 2