18333. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой AP=\frac{1}{3}AC
, а на отрезке BP
— точка S
, для которой CS\perp BP
. Точка T
— вершина параллелограмма BCST
. Докажите, что AB=AT
.
Решение. На продолжении отрезка BC
за точку B
отложим отрезок BD=DC
, а на продолжении отрезка AC
за точку A
— отрезок AQ=AQ=AP
. Тогда PQ=\frac{2}{3}AC=CP
, поэтому BP
— средняя линия треугольника CDQ
. Тогда DQ\parallel BP
.
Поскольку BD=BC=ST
и BD\parallel ST
, четырёхугольник BSTD
тоже параллелограмм. Значит, TD\parallel BP
, точки D
, T
и Q
лежат на одной прямой и BP\parallel TQ
.
Поскольку BT\parallel CS
и CS\perp BP
, то PB\perp BT
, поэтому PBTQ
— прямоугольная трапеция. Пусть AH
— высота треугольника ABT
. Тогда AH\parallel BP
и A
— середина PQ
. Значит, AH
— средняя линия трапеции PBTQ
, поэтому H
— середина BT
. Тогда высота AH
треугольника ABT
является его медианой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AB=AT
. Что и требовалось доказать.
Автор: Райман В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 5, 8 класс, с. 4