18336. Точки H
и O
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
и AT
— диаметр его описанной окружности соответственно. Точки X
и Y
лежат на сторонах AC
и AB
соответственно, причём TX=TY
и \angle XTY+\angle XAY=90^{\circ}
. Докажите, что \angle XHY=90^{\circ}
.
Решение. Точки B
и C
лежат на окружности с диаметром AT
, поэтому \angle ABT=\angle ACT=90^{\circ}
. Докажем, что прямоугольные треугольники XCT
и TBY
равны.
Действительно, XT=YT
по условию, а так как
\angle CTX+\angle BTY=\angle CTB-\angle XTY=180^{\circ}-\angle XAY-\angle XTY=90^{\circ},
то \angle CXT=\angle BTY
. Следовательно, треугольники XCT
и TBY
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, CX=BT
и BY=CT
.
Поскольку CH\perp AB
и TB\perp AB
, то TB\parallel CH
. Аналогично, TC\parallel BH
. Значит, BHCT
— параллелограмм, поэтому BH=CT=CX
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BHC=180^{\circ}-\alpha
, а так как
\angle ACH=\angle ABH=90^{\circ}-\alpha,
то из равнобедренных треугольников BHY
и CHX
получаем
\angle BHY=\angle CHX=\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)}{2}=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
\angle XHY=360^{\circ}-\angle BHC-\angle BHY-\angle CHX=
=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-2\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 3, 9 класс, с. 7