18337. Окружность \omega
описана около треугольника ABC
, в котором AB\gt AC
. Точка N
— середина дуги окружности \omega
, причём ND\perp AB
, а I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Восстановите треугольник ABC
по данным точкам A
, D
и I
.
Решение. Анализ. Пусть NW
— диаметр окружности \omega
. Точка D
лежит на окружности \omega
с диаметром NW
, поэтому DW\perp ND
, а так как AB\perp ND
, то DW\parallel AB
. Дуги AD
и BW
, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому равны стягивающие их хорды AD=BW
. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) IW=BW=CW
.
Построение.
1) Отложив на продолжении данного отрезка AI
за точку I
отрезок IW=AD
, получим точку W
;
2) описав окружность около треугольника ADW
, получим окружность \omega
, описанную около искомого треугольника ABC
;
3) искомые точки B
и C
— это точки пересечения окружности с центром W
и радиусом WI
с окружностью \omega
.
Доказательство следует из обратимости утверждений из анализа.
Автор: Карлюченко А. В.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 4, 9 класс, с. 8