18338. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
, а K
— точка касания вписанной окружности треугольника со стороной AC
. Пусть P
и Q
— точки, в которых описанная окружность треугольника AOK
пересекает OC
и описанную окружность треугольника ABC
соответственно. Докажите, что точки C
, I
, P
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть L
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
с катетом BC
. Поскольку CLIK
— квадрат, то CIK
— прямоугольный треугольник с острым углом 45^{\circ}
. Тогда KC=KI
. Четырёхугольник AKPO
вписанный, поэтому
\angle KPC=180^{\circ}-\angle KPO=\angle KAO=\angle ACO.
Значит, треугольник KPC
равнобедренный, KP=KC=KI
, поэтому K
— центр описанной окружности треугольника CIP
. Осталось доказать, что на этой окружности лежит также точка Q
, т. е. KQ=KP
.
Поскольку
\angle QAP=\angle QOP=\angle QOC=2\angle QAC,
луч AC
— биссектриса угла QAP
. Значит, K
— середина дуги QKP
. Следовательно, KQ=KP
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Сидоренко М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 1, 10-11 классы, с. 11