18342. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена точка D
, а внутри треугольника — точка E
, причём \angle BAD=\angle ECD
и \angle DEC=\angle ABC
. Докажите, что \angle BEC=180^{\circ}-\angle BAC
.
Решение. Пусть луч AD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке F
. Тогда
\angle BCF=\angle BAF=\angle ECD~\mbox{и}~\angle AFC=\angle ABC=\angle DEC.
Значит, два угла треугольника DCE
соответственно равны двум углам треугольника DCF
, поэтому равны и их третьи углы, т. е.
\angle CDF=\angle ADB=\angle EDC.
Тогда треугольники DCE
и DCF
равны по общей стороне DC
и двум прилежащим к ней углам, поэтому CE=CF
. Значит, треугольники BCE
и BCF
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle BEC=\angle BFC=180^{\circ}-\angle BAC.
Что и требовалось доказать.
Автор: Жилинский Г.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 1, 8 класс, с. 1