18344. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, а точки P
и Q
— середины высот BE
и CF
соответственно. Восстановите треугольник ABC
по точкам M
, P
и Q
.
Решение. Анализ. Поскольку MP
и MQ
— средние линии треугольников BEC
и BFC
, получаем, что MP\parallel CE
и MQ\parallel BF
. Значит, \angle BPM=\angle CQM=90^{\circ}
.
На продолжении отрезка QM
за точку M
отложим отрезок MT=QM
. Треугольники BMT
и CMQ
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle BTM=\angle CQM=90^{\circ}
Построение.
1) На продолжении отрезка QM
за точку M
отложим отрезок MT=QM
.
2) Через точку P
проведём прямую, перпендикулярную MP
, а через точку T
— прямую, перпендикулярную MT
. Проведённые прямые пересекаются в вершине B
искомого треугольника ABC
.
3) На продолжении отрезка BM
за точку M
отложим отрезок MC=BM
. Тогда C
— вторая вершина искомого треугольника.
4) Проведём через точки B
и C
— перпендикуляры к BT
и BP
соответственно. Они пересекаются в третьей вершине A
искомого треугольника ABC
.
Доказательство следует из обратимости рассуждений из анализа.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 3, 8 класс, с. 2