18346. Дан треугольник ABC
. На лучах AC
и BC
отмечены точки P
и Q
соответственно, причём описанные окружности треугольников ACQ
и BCP
касаются прямой AB
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника PCQ
. Докажите что AO=BO
.
Решение. Пусть радиус описанной окружности треугольника PCQ
равен R
. По теореме о касательной и секущей
(AO-R)(AO+R)=AC\cdot AP=AB^{2},~(BO-R)(BO+R)=BC\cdot BQ=AB^{2}.
Следовательно,
AO^{2}-R^{2}=BO^{2}-R^{2}~\Rightarrow~AO=BO.
Что и требовалось доказать.
Автор: Прыгунов В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 2, 9 класс, с. 4