18347. На стороне AD
вписанного четырёхугольника ABCD
существуют точки K
и L
, для которых AK=BK
и CL=DL
, а точки A
, K
, L
и D
лежат на прямой AD
в указанном порядке. Точка M
такова, что KM\parallel AB
и LM\parallel CD
. Докажите, что BM=CM
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
, прямые OE
и OG
— серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
соответственно, а F
— точка пересечения прямых OM
и BC
.
Поскольку треугольники AKB
и DLC
равнобедренные, точки K
и L
лежат на прямых OE
и OG
соответственно, а так как KM\parallel AB
и LM\parallel CD
, то
\angle OKM=\angle OLM=90^{\circ}.
Значит, точки K
и L
лежат на окружности с диаметром OM
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда \angle MKL=\alpha
, так как KM\parallel AB
, а также
\angle MOL=\angle MKL=\alpha,
поскольку четырёхугольник OKML
вписанный.
Далее получаем
\angle FOG=\alpha,~\angle FCG=\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-\alpha,~\angle OGC=90^{\circ}.
Следовательно, \angle OFC=\angle OGC=90^{\circ}
.
Таким образом, прямая OF
— серединный перпендикуляр к стороне BC
, а так как точка M
лежит на OF
, то BM=CM
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 1, 9 класс, с. 4