18350. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. На сторонах AB
и AC
отмечены точки соответственно K
и L
, для которых OK=BK
и OL=CL
. Описанные окружности треугольников ABC
и AKL
вторично пересекаются в точке T
. Докажите, что AT\parallel BC
.
Решение. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Треугольники AOB
и BOK
равнобедренные с общим углом при вершине B
, поэтому они подобны. Тогда
\frac{AB}{BO}=\frac{BO}{BK}~\Rightarrow~AB\cdot BK=BO^{2}=R^{2}.
Аналогично, AC\cdot CL=R^{2}
.
Пусть D
— вершина равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
, а E
— точка на стороне CD
, для которой CE=BK
. Поскольку
CD\cdot CE=AB\cdot BK=AC\cdot CL,
точки D
, E
, A
и L
лежат на одной окружности (см. задачу 114), а так как ADEK
— тоже равнобедренная трапеция, эта окружность проходит через точку K
, а значит, совпадает с описанной окружностью треугольника AKL
. Тогда точка D
совпадает с T
. Следовательно, AT\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 2, 10-11 классы, с. 7