18352. Дан треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. На сторонах BC
, AC
и AB
отмечены точки D
, E
и F
соответственно, причём четырёхугольник BFEC
вписанный, а описанная окружность DEF
касается прямой BC
в точке D
. На прямой AD
существует точка Q
, для которой BQ=CQ
, причём точки A
и Q
лежат по разные стороны от прямой BC
. Докажите, что \angle BAC+\angle EDF+\angle BQC=180^{\circ}
.
Решение. Поскольку по свойству вписанного четырёхугольника \angle BFE=180^{\circ}-\angle ECB
, а по теореме об угле между касательной и хордой EFD=\angle EDC
, то
\angle BFD=\angle BFE-\angle EFD=180^{\circ}-\angle ECD-\angle EDC=\angle DEC.
Обозначим \angle BFD=\angle DEC=\alpha
. Тогда
\angle BFD=\angle BAD+\angle ADF=\alpha~\mbox{и}~\angle DEC=\angle DAC+\angle ADE=\alpha,
а так как BFD
и CFD
— внешние углы треугольников AFD
и AED
, то
\angle BAC+\angle EDF=(\angle BAD+\angle CAD)+(\angle FDA+\angle EDA)=
=(\angle BAD+\angle FDA)+(\angle CAD+\angle EDA)=
=\angle BFD+\angle CED=\alpha+\alpha=2\alpha.
Осталось доказать, что \angle BQC=180^{\circ}-2\alpha
.
Пусть описанная окружность треугольника BFD
вторично пересекает прямую AD
в точке P
. Тогда
AE\cdot AC=AF\cdot AB=AP\cdot AD.
Значит, описанная окружность треугольника DEC
тоже проходит через точку P
. Если точки A
и P
лежат по одну сторону от прямой BC
, то
\angle BPD=\angle BFD=\alpha~\mbox{и}~\angle DPC=\angle DEC=\alpha.
Тогда прямая AD
содержит биссектрису угла BPC
.
Известно (см. задачу 1743), что биссектриса угла треугольника BPC
и серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекаются на описанной окружности этого треугольника. Значит, точка Q
совпадает с серединой W
дуги этой окружности BQC
этой окружности. Тогда BW=CW
и
\angle BWC=180^{\circ}-\angle BPC=180^{\circ}-(\angle BPD+\angle CPD)=180^{\circ}-2\alpha.
Если же точка P
совпадает с D
, то прямая AD
— общая касательная к описанным окружностям треугольников BFD
и DEC
. Тогда
\angle BDQ=\angle BFD=\alpha~\mbox{и}~\angle CDQ=\angle DEC=\alpha,
поэтому \alpha90^{\circ}
, т. е. DQ\perp BC
, а так как BW=CW
, то прямая, проходящая через точки A
, D
и W
, перпендикулярна серединному перпендикуляру к отрезку BC
, что противоречит AB\ne AC
.
Автор: Тригуб А. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 4, 10-11 классы, с. 9