18366. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
, AC
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки K
и L
— проекции точек соответственно F
и E
на прямую BC
, а M
и N
— вторые точки пересечения отрезков соответственно FK
и EL
с вписанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что \frac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\frac{DK}{DL}
.
Решение. Пусть \angle ABC=\beta
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус. Тогда \angle BFK=90^{\circ}-\beta
, а по теореме об угле между касательной и хордой, учитывая, что точки B
и I
лежат на окружности с диаметром BI
, получаем
\angle BFD=\frac{1}{2}\angle DIF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Значит,
\angle DFM=\angle DFK=\angle BFD-\angle BFK=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-(90^{\circ}-\beta)=\frac{\beta}{2}=\angle DBI.
Поскольку
\angle DBI=\frac{\beta}{2}=\angle DFM,
прямоугольные треугольники MDK
и BID
подобны по двум углам. Значит, \frac{MK}{DK}=\frac{r}{BD}
. Аналогично, \frac{NL}{DL}=\frac{r}{CD}
. Тогда MK\cdot BD=r\cdot DK
и NL\cdot CD=r\cdot DL
. Следовательно,
r=\frac{MK\cdot BD}{DK}=\frac{NL\cdot CD}{DL}=\frac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\frac{\frac{1}{2}MK\cdot BD}{\frac{1}{2}NL\cdot CD}=\frac{MK\cdot BD}{NL\cdot CD}=\frac{r\cdot DK}{r\cdot DL}=\frac{DK}{DL}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2014, задача 2, с. 12