18368. Точки X
и Y
лежат на дуге BC
описанной окружности треугольника ABC
(эта дуга не содержит точку A
), причём \angle BAX=\angle CAY
. Точка M
— середина хорды AX
. Докажите, что BM+CM\gt AY
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда OM\perp AX
. Через точку B
проведём прямую, перпендикулярную OM
. Пусть эта прямая пересекает описанную окружность в точке Z
. Поскольку OM\perp BZ
, прямая OM
— серединный перпендикуляр к хорде BZ
, поэтому MZ=MB
. По неравенству треугольника
BM+MC=ZM+MC\gt CZ,
а так как BZ\parallel AX
, то
\smile AZ=\smile BX=\smile CY~\Rightarrow~\smile ZAC=\smile YCA~\Rightarrow~CZ=AY.
Следовательно,
BM+MC\gt CZ=AY.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2014, задача 5, с. 15