1837. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30^{\circ}
. Найдите диагональ, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
Ответ. 4, 30^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Указание. Треугольник ABD
— равнобедренный.
Решение. Пусть BM
— высота параллелограмма ABCD
, опущенная из вершины B
тупого угла на сторону AD
. Поскольку M
— середина AD
, то в треугольнике ABD
высота BM
является медианой, значит, треугольник ABD
— равнобедренный. В прямоугольном треугольнике ABM
угол, противолежащий катету BM
, равен 30^{\circ}
, поэтому BD=AB=2BM=4
, а так как
\angle ADC=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ},~\angle ADB=\angle DAB=30^{\circ},
то
\angle ABD=\angle CDB=150^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}.