18370. Дан треугольник ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине A
. Точки M
, N
и K
лежат на BC
, AC
и AB
соответственно, причём BK=KM=MN=NC
. Найдите углы треугольника при вершинах B
и C
, если AN=2AK
.
Ответ. 75^{\circ}
и 45^{\circ}
.
Решение. Пусть P
— середина AN
. Тогда AK=AP=PN
, поэтому равнобедренный треугольник APK
с углом 60^{\circ}
— равносторонний. Значит, треугольник AKN
— прямоугольный с прямым углом при вершине K
(см. задачу 2643), а \angle ANK=30^{\circ}
.
Обозначим \angle ACB=\angle NMC=\alpha
. Тогда
\angle ABC=\angle KMB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle KMN=180^{\circ}-\angle KMB-\angle CMN=180^{\circ}-(120^{\circ}-\alpha)-\alpha=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник KMN
(MK=MN
) — тоже равносторонний. Тогда
\angle MNC=\angle ANM=\angle ANK+\angle KNM=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ},
поэтому
\angle BCN=\angle MCN=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015, задача 2, с. 8