18371. На рисунке изображён невыпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABC=90^{\circ}
, \angle BCD=30^{\circ}
, AB=CD
и BC=2AD
. Докажите, что \angle BAD=30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть точки E
и F
— проекции точки D
на прямые AB
и BC
соответственно. Тогда BEDF
— прямоугольник, поэтому
DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB.
Кроме того, DF=BE
, поэтому прямая DE
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, а тогда BD=AD
.
Пусть H
— проекция точки B
на прямую CD
. Тогда из прямоугольного треугольника BHC
получаем, что
BH=\frac{1}{2}BC=BH=BD.
Значит, точка D
совпадает с H
, поэтому \angle BDC=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Второй способ. Пусть P
— вершина равностороннего треугольника DCP
(рис. 1). Поскольку
\angle BCP=\angle BCD+\angle DCP=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ},
четырёхугольник ABCP
с тремя прямыми углами — прямоугольник. Тогда
\angle APD=\angle APC-\angle DPC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
С другой стороны, DP=DC
и AP=BC
, поэтому треугольники ADP
и BDC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD=BD
.
Пусть H
— проекция точки B
на прямую CD
. Тогда из прямоугольного треугольника BHC
получаем, что
BH=\frac{1}{2}BC=BH=BD.
Значит, точка D
совпадает с H
, поэтому \angle BDC=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 9