18372. Точки M
, N
, P
и Q
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
, DA
прямоугольника ABCD
, причём треугольники AQM
, BMN
, CNP
и DPQ
равновелики. Докажите, что MNPQ
— параллелограмм.
Указание. Если четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, то можно аналогично доказать, что MNPQ
— параллелограмм.
Решение. Обозначим AB=CD=a
, AD=BC=b
, AM=x
, AQ=z
, PC=y
и NC=t
. Если x\ne y
, то можно считать, что x\gt y
. Тогда
y\lt x~\Rightarrow~a-x\lt a-y,\eqno(1)
S_{\triangle AQM}=S_{\triangle CNP}~\Rightarrow~zx=yt~\Rightarrow~z\lt t~\Rightarrow~b-t\lt b-z.\eqno(2)
Из (1) и (2) получаем
(a-x)(b-t)\lt(a-y)(b-z)~\Rightarrow~S_{\triangle BMN}\lt S_{\triangle DPQ}.
Противоречие. Значит, x=y
, а тогда z=t
.
Прямоугольные треугольники AMQ
и CPN
равны по двум катетам, поэтому MQ=NP
. Аналогично, MN=PQ
. Следовательно, четырёхугольник MNPQ
— параллелограмм.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015, задача 4, с. 11