18373. Точки P
, A
и B
лежат на окружности, а точка Q
— вне окружности, причём \angle PAQ=90^{\circ}
и PQ=BQ
(см. рис.). Докажите, что разность \angle AQB-\angle PQA
равна угловой величине дуги AB
.
Решение. Пусть K
— точка, симметричная P
относительно прямой AQ
. Докажем, что
2\angle APB=\angle AQB-\angle AQP.
Поскольку прямая AQ
— серединный перпендикуляр к отрезку PK
, то \angle AQP=\angle AQK
и PQ=KQ=BQ
. Значит, точка Q
— центр окружности, описанной около треугольника PKB
, а так как вписанный в эту окружность угол KPB
равен половине центрального угла KQB
, то
2\angle APB=\angle KQB=\angle AQB-\angle AQK=\angle AQB-\angle AQP.
Следовательно, разность \angle AQB-\angle PQA
равна угловой величине дуги AB
исходной окружности, на которую опирается вписанный в эту окружность угол APB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015, задача 1, с. 13