18375. Точки M
, N
и K
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, \omega_{B}
и \omega_{C}
— полуокружности с диаметрами AC
и AB
, расположенные вне треугольника, а прямые MK
и MN
пересекают \omega_{C}
и \omega_{B}
в точках X
и Y
соответственно. Касательные к \omega_{C}
и \omega_{B}
в точках X
и Y
соответственно пересекаются в точке Z
. Докажите, что AZ\perp BC
.
Решение. Проведём высоту AH
треугольника ABC
. Тогда четырёхугольник AXBH
вписан в окружность с диаметром AB
. Аналогично, четырёхугольник AYCH
вписан в окружность с диаметром AC
. По теореме о средней линии треугольника KM\parallel AC
и MN\parallel AB
, поэтому \angle AKX=\angle ANY=\angle A
. Кроме того, поскольку K
центр описанной окружности четырёхугольника OXBH
, то треугольник BKX
равнобедренный, поэтому по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABX=\frac{1}{2}\angle A~\Rightarrow~\angle XAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A.
Аналогично, \angle ACY=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A
. Тогда
\angle XAY=\angle XAB+\angle BAC+\angle ACY=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A\right)+\alpha+\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A\right)=180^{\circ}
Следовательно, точки X
, A
и Y
лежат на одной прямой.
Далее получаем
\angle AHX=\angle ABX=\frac{1}{2}\angle A,~\angle AHY=\angle ACY=\frac{1}{2}\angle A,
поэтому
\angle XHY=\angle XMY=\angle A
(так как AKMN
— параллелограмм). Следовательно, четырёхугольник XHMY
вписанный. В то же время,
\angle MXZ=\angle KXZ=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle MYZ=\angle NYZ=90^{\circ},
поэтому, четырёхугольник MXZY
вписан в окружность (с диаметром MZ
). Значит, пятиугольник ZXHMY
вписанный, а тогда четырёхугольник HXZY
тоже вписанный.
С другой стороны,
\angle ZYX=\angle ZHX=\angle ABX=\frac{1}{2}\angle A~\mbox{и}~\angle ACY=\frac{1}{2}\angle A,
\angle ZHX=\frac{1}{2}\angle A,~\angle AHX=\frac{1}{2}\angle A,
поэтому
\angle ZHX=\angle AHX.
Значит, точки Z
, A
и H
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 17