18402. Точки M
и N
— середины сторон квадрата ABC
(см. рис). Вне квадрата изображены правильный шестиугольник со стороной BN
и правильный 12-угольник со стороной BM
. Точки P
, Q
и R
— центры этих многоугольников. Докажите, что четырёхугольник PQRS
вписанный.
Решение. Углы при вершинах квадрата, правильного шестиугольника и правильного 12-угольника равны 90^{\circ}
, 120^{\circ}
и 150^{\circ}
соответственно (см. задачу 1198).
Заметим, что QR
— серединный перпендикуляр к отрезку BE
, а NQ\parallel BE
, поэтому \angle NQR=90^{\circ}
, а так как NQ=NP
, то
\angle PNQ=\angle PNB+\angle BNQ=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника PNQ
(NP=NQ
) находим, что \angle NQP=15^{\circ}
, поэтому
\angle PQR=\angle NQR-\angle NQP=90{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}.
В то же время,
\angle BMS=150^{\circ}~\Rightarrow~\angle AMS=180^{\circ}-\angle BMS=30^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle PMS=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}~\mbox{и}~PM=MS,
поэтому \angle PSM=30^{\circ}
и \angle MSR=75^{\circ}
. Значит, \angle PSR=105^{\circ}
.
Таким образом,
\angle PQR+\angle PSR=75^{\circ}+105^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник PQRS
вписанный. Что и требовалось доказать,
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2023, задача 1, с. 15