18453. Точка E
— середина стороны AB
параллелограмма ABCD
. Отрезок ED
пересекает диагональ AC
параллелограмма в точке P
. Во сколько раз площадь параллелограмма ABCD
больше площади треугольника AEP
?
Ответ. 12.
Решение. Треугольник EPA
подобен треугольнику DPC
с коэффициентом \frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}
, поэтому (см. задачи 3008 и 3000)
S_{\triangle AEP}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{\triangle DPC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABCD}.
Следовательно, площадь параллелограмма ABCD
в 12 раз больше площади треугольника AEP
.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2003, задача 10