18460. На рисунке изображены окружность с центром A
и прямоугольник ABCD
. Известно, что BE=2
, AD=18
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 82.
Решение. Пусть радиус окружности равен r
. Тогда
AB=r-BE=r-2.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC
получаем
AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},~\mbox{или}~(r-2)^{2}+18^{2}=r^{2}~\Rightarrow~18^{2}=r^{2}-(r-2)^{2}=
=4(r-1)~\Rightarrow~9^{2}=r-1~\Rightarrow~r=82.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2010, задача 5