1847. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Где расположен её центр?
Ответ. В точке пересечения диагоналей.
Указание. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
ромба ABCD
пересекаются в точке O
. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому точка O
равноудалена от всех сторон ромба. Значит, перпендикуляры, опущенные из точки O
на стороны ромба, равны. Поэтому окружность с центром O
и радиусом, равным эти перпендикулярам, касается всех сторон ромба.