1851. Угол при вершине A
ромба ABCD
равен 20^{\circ}
. Точки M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из вершины B
на стороны AD
и CD
. Найдите углы треугольника BMN
.
Ответ. 20^{\circ}
, 80^{\circ}
, 80^{\circ}
.
Указание. Докажите, что треугольник MBN
— равнобедренный.
Решение. Из равенства прямоугольных треугольников ABM
и CBN
следует, что
BM=BN,~\angle ABM=\angle CBN=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.
Поэтому
\angle MBN=\angle ABC-2\angle ABM=160^{\circ}-140^{\circ}=20^{\circ},
а так как треугольник MBN
равнобедренный, то
\angle BMN=\angle BNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-20^{\circ})=80^{\circ}.