1852. Две равные окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Отрезок O_{1}O_{2}
пересекает эти окружности в точках M
и N
. Докажите, что четырёхугольники O_{1}AO_{2}B
и AMBN
— ромбы.
Указание. Стороны четырёхугольника O_{1}AO_{2}B
равны как радиусы окружностей. Диагонали четырёхугольника AMBN
взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Решение. Стороны четырёхугольника O_{1}AO_{2}B
равны как радиусы окружностей. Следовательно, O_{1}AO_{2}B
— ромб. Его диагональ AB
перпендикулярна диагонали O_{1}O_{2}
, проходит через её середину K
и делит её пополам, поэтому KM=KN
. Значит, диагонали AB
и MN
четырёхугольника AMBN
взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, AMBN
— ромб.