1853. Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен a
.
Ответ. \frac{a}{2}
.
Указание. Пусть вершина L
квадрата CKLM
лежит на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, а вершины K
и M
соответственно на катетах BC
и AC
. Тогда AM=ML=MC
.
Решение. Пусть вершина L
квадрата CKLM
лежит на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, а вершины K
и M
соответственно на катетах BC
и AC
. Тогда AML
и BKL
— также равнобедренные прямоугольные треугольники, поэтому AM=ML=MC
. Следовательно,
MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a.