1860. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
параллелограмма ABCD
взяты соответственно точки M
, N
, K
, L
, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN
— параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD
.
Указание. Треугольник AML
равен треугольнику CKN
, а треугольник BMN
— треугольнику DKL
.
Решение. Треугольник AML
равен треугольнику CKN
, а треугольник BMN
— треугольнику DKL
(по двум сторонам и углу между ними), поэтому ML=KN
и MN=KL
. Следовательно, MNKL
— параллелограмм.
Пусть O
— точка пересечения AC
и NL
. Тогда треугольники AOL
и CON
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, O
— середина каждого из отрезков AC
и NL
. Следовательно, O
— центр каждого из параллелограммов KLMN
и ABCD
.