1862. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
параллелограмма ABCD
взяты соответственно точки M
, N
, K
, L
, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN
, BK
, CL
и DM
получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD
.
Указание. Докажите равенство треугольников ABN
и CDL
.
Решение. Из равенства треугольников ABN
и CDL
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что
\angle ANB=\angle CLD=\angle BCL,
поэтому AN\parallel CL
. Аналогично BK\parallel DM
. Значит, при пересечении прямых AN
, BK
, CL
и DM
получился параллелограмм.
Пусть P
, Q
, R
, S
— его вершины (см.рисунок). Из равенства треугольников BPN
и DRL
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что BP=DR
, поэтому PK=MR
. Значит, четырёхугольник MPKR
— параллелограмм. Его диагональ PR
проходит через середину диагонали MK
. В то же время, середина MK
совпадает с серединой AC
, так как MK
и AC
— диагонали параллелограмма AMCK
. Следовательно, PR
проходит через середину AC
, т. е. через центр параллелограмма ABCD
. Аналогично для QS
.