1868. Через середину диагонали KM
прямоугольника KLMN
перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL
и MN
в точках A
и B
соответственно. Известно, что AB=BM=6
. Найдите большую сторону прямоугольника.
Ответ. 9.
Указание. Треугольник ABM
— равносторонний.
Решение. Пусть O
— середина KM
. Из равенства треугольников AOK
и BOM
следует, что O
— середина AB
. Поскольку диагонали четырёхугольника AKBM
перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то AKBM
— ромб. Значит,
AM=BM=6,~\angle AMB=60^{\circ},~\angle AML=\angle NML-\angle AMB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AML
находим, что AL=\frac{1}{2}AM=3
. Следовательно,
KL=AK+AL=6+3=9,
а так как KL\gt AK=AM\gt LM
, то KL
— большая сторона прямоугольника KLMN
.