1871. С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по его центру и двум точкам, лежащим на противоположных сторонах.
Указание. Пусть точки M
и N
лежат на противоположных сторонах квадрата с центром O
. Тогда точка, симметричная точке M
относительно центра O
, также лежит на стороне квадрата.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на противоположных сторонах AB
и CD
квадрата ABCD
с центром O
. Если прямая MO
пересекает сторону CD
в точке K
, то MO=OK
. Отсюда вытекает следующее построение.
На продолжении отрезка OM
за точку O
отложим отрезок OK
, равный OM
. Если точки N
и K
не совпадают, проведём прямую NK
. Через точки M
и O
проведём прямые, параллельные NK
. На второй из этих прямых отложим по разные стороны от точки O
отрезки OP
и OQ
, равные расстоянию от точки O
до прямой NK
. Через точки P
и Q
проведём прямые, перпендикулярные NK
.
Если точка K
совпадает с точкой N
, задача имеет бесконечно много решений.