1873. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
квадрата ABCD
взяты соответственно точки N
, K
, L
, M
, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN
— также квадрат.
Указание. Стороны полученного четырёхугольника отсекают от квадрата четыре равных прямоугольных треугольника.
Решение. Первый способ. При повороте относительно центра квадрата на 90^{\circ}
по часовой стрелке сторона AB
переходит в сторону BC
, а так как AN=BK
, то точка N
— в точку K
. Аналогично для остальных вершин четырёхугольника KLMN
.
Таким образом, при повороте на 90^{\circ}
относительно точки O
четырёхугольник KLMN
переходит в себя. Следовательно, KLMN
— квадрат.
Второй способ. Прямоугольные треугольники AMN
, BNK
, CKL
и DLM
равны по двум катетам, поэтому MN=NK=KL=LM
.
Пусть K_{1}
— проекция точки K
на AD
, а N_{1}
— проекция точки N
на DC
. Из равенства прямоугольных треугольников MK_{1}K
и LN_{1}N
(по двум катетам) следует равенство диагоналей MK
и NL
четырёхугольника KLMN
. Таким образом, четырёхугольник KLMN
— ромб с равными диагоналями, т. е. квадрат.